plano cartesiano

Ejes cartesianos y representación de puntos en el plano

Dificultad: 

Unos ejes cartesianos son un par de rectas reales perpendiculares que nos permiten identificar los distintos puntos del plano.

Identificaremos un punto P cualquiera mediante un par de números a y b, y escribiremos P=(a,b). Antes de ver cómo encontrar dichos a y b, analicemos un poco más a fondo los ejes cartesianos.

Esta es una representación gráfica de unos ejes cartesianos:

Observamos que tenemos dos rectas reales que se cruzan en el punto 0 de ambas.

Es destacable que dichas rectas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes, y distinguidas según muestra la figura:

Los distintos ejes tienen nombres propios:

• El eje horizontal es el eje de abscisas.
• El eje vertical es el eje de ordenadas.

El punto donde se cortan los dos ejes se llama origen (a veces sencillamente O), y tiene por coordenadas O=(0,0).

Una vez vista la notación habitual, ya estamos en condiciones de localizar puntos.

Una definición rigurosa de qué se considera coordenadas de un punto podría ser:

Dados uno ejes cartesianos y un punto P del plano, si a y b son el valor de la proyección del punto P sobre los ejes de abscisas y ordenadas respectivamente, entonces se tiene P=(a,b).

Una definición más constructiva podría ser la siguiente:

Las coordenadas a y b de un punto P del plano, P=(a,b), son los puntos de intersección de las paralelas a los ejes de coordenadas trazadas desde el punto P con los ejes de coordenadas. La primera coordenada a es la intersección con el eje horizontal o de abscisas, y la segunda coordenada b es la intersección con el eje vertical o de ordenadas.

Un ejemplo visual resultará mucho más clarificador.

Ejemplo

De entrada, por situación inicial tenemos el punto y los ejes de coordenadas:

Si trazamos paralelas des del punto P, tenemos:

Y por tanto ya podemos decir que P=(2,−3).

El proceso de representar puntos es exactamente el mismo pero a la inversa.

Supongamos que queremos representar el punto P=(−1,2) en unos ejes cartesianos, el procedimiento a seguir es el siguiente:

Marcamos en el eje de abscisas el punto −1 y en el eje de ordenadas el punto 2:

Trazamos paralelas a los ejes de ordenadas y abscisas por los puntos a y b respectivamente:

La intersección de dichas paralelas es el punto P=(−1,2)