EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

El máximo común divisor (m.c.d. o mcd) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se toman los factores comunes con menor exponente.

3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.

Ejemplo de cálculo de máximo común divisor

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:

1 

Solución: 

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

2 m. c. d. (72, 108, 60) = 2² · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Propiedades del máximo común divisor

1 Los divisores comunes de varios números coinciden con los divisores del máximo común divisor.

Ejemplo: 

Calcular los divisores comunes de 54 y 90.
m.c.d (54, 90) = 18
Los divisores comunes de 54 y 90 son los divisores de 18, por tanto serían 1, 2, 3, 6, 9, 18.

2 Dados varios números, si se multiplican o dividen por otro número entonces su m.c.d también queda multiplicado o dividido por el mismo número.

Ejemplo: 

m.c.d. (54, 90) = 18
Si multiplicamos los dos números por 3 queda:

54 · 3 = 162

90 · 3 = 270

m.c.d. (162, 270) = 54 = 18 · 3

3 Esta propiedad es consecuencia de la anterior: Dados varios números, si se dividen por su m.c.d los cocientes resultantes son primos entre sí (su m.c.d es 1).

Ejemplo: 

m.c.d. (54, 90) = 18

54 : 18 = 3

90 : 18 = 5

m.c.d. (3, 5) = 1

4 Si un número es divisor de otro, entonces este es el m. c. d de los dos.

Ejemplo: 

El número 12 es divisor de 36.

m.c.d. (12, 36) = 12