viernes, 11 de diciembre de 2015

MINIMO COMUN MULTIPLO





En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos (o el ínfimo del conjunto de los múltiplos comunes). Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales, pero se puede usar para enteros negativos o enteros gaussianos.

Cálculo del mínimo común múltiplo (m.c.m)

Partiendo de 2 o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar todos los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:
Divisores 50 72.svg
\begin{array}{r|l} 72 & 2 \\ 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & 1 \end{array}
72 = 2^3 \cdot 3^2 \,
\begin{array}{r|l} 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}
50 = 2 \cdot 5^2 \,
Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:
\operatorname{mcm} (72, 50) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 1800
Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.
\operatorname{mcm}(a, b) = \frac {a \cdot b}{\operatorname{mcd}(a, b)}

Propiedades básicas

  1. Si a es un entero, entonces [a, a] = a
  2. Cuando a y b son enteros, [a, b] = b si, sólo si b es múltiplo de a.
  3. (a,b) = [a,b] si son iguales u opuestos.
  4. [a, b] = [ab] si, sólo si (a,b)= 1
  5. [a/d, b/d] = [m/a, m/b] donde m = mcm y d = mcd.2
  6. [ma,b]= m[a,b] si ([a,b]/a,m) = 13
  7. [a,b,c]= [[a,b], [b,c]]
  8. [a, b, c]|abc, donde abc ≠ 0
  9. [a,b,c] = abc (a,b,c)/(a,b)(b,c)(c,d)4
  • Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo.
A y B que descompuestos en números primos será A=(p1·p2)·p3·p4 y B=(p1·p2)·p5·p6 donde si m.c.d. es (p1·p2) y el producto de A·B=(p1·p2)·p3·p4·(p1·p2)·p5·p6 donde vemos que (p1·p2) está repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p1·p2) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su mcm
  • El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
  • El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
  • El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
  • El máximo común divisor de varios números es un divisor del mínimo común múltiplo de tales números.
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