martes, 12 de abril de 2016

el área de polígonos regulares.



Elementos de un polígono regular

PoliReg 02.svg
  • Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
  • Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
  • Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
  • Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
  • Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
  • Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
  • Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
  • Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
  • Sagita, S: parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

Propiedades de un polígono regular

  • Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.
  • Los polígonos regulares son equiangulares, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.
  • Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.

Área de un polígono regular[editar]

PoliReg 03.svg
Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

En función del perímetro y la apotema[editar]

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:
A = \frac {P \cdot a}{2}
[Expandir]Demostración

En función del número de lados y la apotema[editar]

PoliReg 04.svg
Sabiendo que:
A_p = \frac {L \cdot n \cdot a} {2}
Además  \delta = \frac {\pi} {n} \ , ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).
Observando la imagen, es posible deducir que:
L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )
Sustituyendo el lado:
A_p = \frac { \left ( 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \right ) \cdot n \cdot a } {2}
Finalmente:
A_p = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )
Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

En función del número de lados y el radio[editar]

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:
L = 2 r \sin({\delta}) \;
a = r \cos({\delta}) \;
donde el ángulo central es:
\alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \;
sabiendo que el área de un polígono es:
A_p = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;
y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:
A_p = \frac{2 r \sin({\delta}) \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \;
ordenando tenemos:
A_p = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \;
sabiendo que:
2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \;
resulta:
A_p = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \;
o lo que es lo mismo:
A_p = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;
Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.
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