Probabilidad de Eventos Independientes
Objetivo de Aprendizaje
· Calcular la probabilidad de eventos independientes.
Introducción
Algunas situaciones de probabilidad implican más de un evento. Cuando los eventos no se afectan entre sí, se les conoce como eventos independientes. Los eventos independientes pueden incluir la repetición de una acción como lanzar un dado más de una vez, o usar dos elementos aleatorios diferentes, como lanzar una moneda y girar una ruleta. Muchas otras situaciones también pueden incluir eventos independientes. Para calcular correctamente las probabilidades, necesitamos saber si un evento influye en el resultado de otros eventos.
La principal característica de una situación con eventos independientes es que el estado original de la situación no cambia cuando ocurre un evento. Existen dos maneras de que esto suceda:
Los eventos independientes ocurren ya sea cuando:
· el proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningún posible resultado o
· el proceso que sí elimina un posible resultado, pero el resultado es sustituido antes de que suceda una segunda acción. (A esto se le llama sacar un reemplazo.)
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Aquí hay ejemplos de cada caso:
Situación
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Eventos
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Por qué los eventos son independientes
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Lanzas un dado, y si no sale 6, lanzas de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo lanzamiento?
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El primer lanzamiento no es un 6.
El primer lanzamiento es un 6.
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El hecho de que el primer lanzamiento no es un 6 no cambia la probabilidad de que el segundo lanzamiento sea un 6. (A algunas personas les gusta decir, "el dando no se acuerda qué sacaste antes.")
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Sacas una canica de una bolsa con 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Observas el color, la pones de nuevo en la bolsa, y sacar otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja ambas veces?
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Sacar una canica roja en el primer intento.
Sacar una canica roja en el segundo intento.
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Los eventos son independientes porque regresaste la primera canica a la bolsa y tu segundo intento fue con la bolsa en su estado original.
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Sacas una carta de un mazo de 52 cartas, y luego lanzas un dado. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 2 y luego lanzar y que caiga 2?
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La carta es un 2.
El dado cae en 2.
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Aunque la carta no es regresada al mazo después de sacarla, el lanzamiento del dado no depende de las cartas, por lo que ningún posible resultado ha sido reemplazado. A pesar del resultado de sacar la carta, la probabilidad de del dado no será afectada.
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Examinemos el segundo ejemplo. En el primer intento, la probabilidad de sacar una canica roja es 
, porque hay 5 canicas y 2 de ellas son rojas. Si volvemos a poner la canica roja dentro de la bolsa, la probabilidad de sacar una canica roja en un segundo experimento sigue siendo , y eso significa que los dos eventos son independientes. El resultado de un experimento no afecta el resultado del otro.
, porque hay 5 canicas y 2 de ellas son rojas. Si volvemos a poner la canica roja dentro de la bolsa, la probabilidad de sacar una canica roja en un segundo experimento sigue siendo , y eso significa que los dos eventos son independientes. El resultado de un experimento no afecta el resultado del otro.
Pero, ¿qué hubiera pasado si no pones la primera canica de nuevo en la bolsa? La probabilidad de sacar una canica roja será diferente para el segundo intento. Si una canica roja es eliminada, en el segundo intento la probabilidad será ahora de 
porque sólo quedan 4 canicas y una es roja.
porque sólo quedan 4 canicas y una es roja.
Ahora veamos el primer ejemplo. Supongamos que el dado se lanzó 15 veces sin sacar un 6. En el siguiente lanzamiento , ¿es la probabilidad de sacar un igual a 
, o es mayor? Algunas personas creen que en el siguiente lanzamiento es más probable que les salga un 6 porque "¡Ya me toca un 6!" — el dado no puede recordar qué fue lo que sacó antes. Si bien es un poco inusual tirar un dado 16 veces sin sacar un 6, la probabilidad de sacar un 6 en 15 tiradas ha sido la misma en cualquiera de las tiradas.
, o es mayor? Algunas personas creen que en el siguiente lanzamiento es más probable que les salga un 6 porque "¡Ya me toca un 6!" — el dado no puede recordar qué fue lo que sacó antes. Si bien es un poco inusual tirar un dado 16 veces sin sacar un 6, la probabilidad de sacar un 6 en 15 tiradas ha sido la misma en cualquiera de las tiradas.
Latonya está jugando un juego de cartas. Empieza con 10 cartas, numeradas del 1 al 10, y que están boca abajo por lo que no puede ver los números. Ella escoge una carta al azar (de forma aleatoria) y la voltea. Si la carta es mayor que 5, la carta es "ganadora" y la pone en una pila de cartas "ganadoras", Si la carta es 5 o menor, la pone en una pila de cartas "perdedoras". Ella gana el juego si logra juntar tres cartas en la pila ganadora antes de juntar tres cartas en la pila perdedora.
Elige el enunciado que mejor describe la situación.
A) Los eventos son independientes, porque el juego no elimina ningún resultado.
B) Los eventos son independientes, porque cada ronda tiene los mismos posibles resultados (ganar o perder).
C) Los eventos no son independientes, porque un resultado es eliminado en cada turno y no es reemplazado.
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Probabilidad de Eventos Independientes
Veamos el espacio muestral y el espacio de eventos de los ejemplos de la sección anterior.
· Lanzas un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un 6 en el segundo tiro pero no en el primero?
En este ejemplo, el dado es lanzado dos veces.
Primer lanzamiento
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1
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2
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3
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4
|
5
|
6
| ||
Segundo lanzamiento
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1
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1,1
|
2,1
|
3,1
|
4,1
|
5,1
|
6,1
|
2
|
1,2
|
2,2
|
3,2
|
4,2
|
5,2
|
6,2
| |
3
|
1,3
|
2,3
|
3,3
|
4,3
|
5,3
|
6,3
| |
4
|
1,4
|
2,4
|
3,4
|
4,4
|
5,4
|
6,4
| |
5
|
1,5
|
2,5
|
3,5
|
4,5
|
5,5
|
6,5
| |
6
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1,6
|
2,6
|
3,6
|
4,6
|
5,6
|
6,6
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Existen 6 resultados posibles para el primer tiro, y para cada uno de ellos, hay 6 resultados posibles para el segundo tiro. Hay 6 • 6, o 36, resultados posibles:
Espacio muestral: {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
El espacio muestral consiste en todos los resultados para los cuales el primero tiro no fue 6, y el segundo tiro fue 6. Para el primer lanzamiento existían 5 resultados posibles que no son 6. Para cada uno de ellos, existía sólo un posible resultado que era 6. Entonces hay 5 • 1 o 5 resultados en el espacio de eventos:
Espacio de eventos: {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}
Nota que el tamaño del espacio muestral para ambos lanzamientos es el producto del tamaño del espacio muestral para cada lanzamiento. De manera similar, el tamaño del espacio de eventos par dos lanzamientos es el producto del tamaño de los espacios de eventos de cada lanzamiento.
Veamos el escenario 2:
· Sacas una canica de una bolsa que contiene 2 canicas rojas, 2 blancas, y una verde. Anotas el color, regresas la canica a la bolsa, y sacas otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de sacar canica roja ambas veces?
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